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Polinomios especiales

Cuales son los polinomios especiales

Todas las expresiones algebraicas, generalmente se escriben de varias maneras. Algunas de ellas son comunes y otras son notables. Ante esta situación es necesario una clasificación de todas estas expresiones.

Definición de polinomios especiales

qué son polinomios especiales

Son todas las expresiones algebraicas enteras, en las cuales sus elementos, como las variables y sus grados, y la forma cómo se escriben, tienen algunas propiedades implícitas que las hacen notables ante otros polinomios. Estas pueden ser: ordenados, completos, homogéneos, idénticos, opuestos y nulos.

Polinomios ordenados

Los polinomios, se pueden ordenar de manera ascendente o descendente. Para definir este orden, se toma en consideración el grado de la variable. En el caso de que haya dos o mas variables, se ordena en función de una de las variables, para este procedimiento, se elige una de ellas, y se le da el orden correspondiente.

Ejemplo de polinomios ordenados con una sola variable

El orden que se le da a los siguientes polinomios, está en función de las variables “x” y “y” respectivamente.  Cada variable de los polinomios, es denomina ORDENATRIZ

      2x5 + 3x2 + x1 – 6                                                2 – m1 + 3m2 + 7m4

Orden ascendente                                                      Orden descendente

En los ejemplos, la variable “x” es ordenatriz ascendente. La variable “y” es ordenatriz descendente o decreciente

Ejemplos de polinomios ordenados con dos o más variables

Cuando hay dos variables,

2a3b + 3a2b3 + a1b2– 6                                            2y3 – y1z2 + 3y2z + 7y3

Orden ascendente                                                            Orden descendente

en función de “a”                                                                  en función de “y”

Polinomios completos

Estos polinomios, pueden ser de una variable y/o de dos o más variables:

Polinomios completos en una sola variable

Un polinomio completo, es la expresión que tiene el número de términos, igual al grado de la expresión aumentado en uno. También, la diferencia de un grado con consecutivo, siempre es uno

2a3+ 3a2 + a1 – 6                                                            1 – u1 + 3u2 – 2u3 + 7u4

También se puede escribir de la siguiente forma:

2a3+ 3a2 + a1 – 6 a0                                                       1 a0 – u1 + 3u2 – 2u3 + 7u4

Orden ascendente                                                                  Orden descendente

Polinomios completos con más de una variable

Para determinar un polinomio completo con más de una variable, primero se debe elegir una de ellas, y después dar el orden correspondiente.

2x3y + 3x2y3 + x1y2 – 1                                                 2n3 – m1n2 + 3m2n + 7m3

Se puede escribir la expresión de la siguiente manera:

2x3y + 3x2y3 + x1y2 – 1x0                                             2n3m0 – m1n2 + 3m2n + 7m3

Ordenado en función a “x”                                                 Ordenado en función de m

Polinomios homogéneos

Un polinomio homogéneo, es aquel que está compuesto por más de una variable, y los términos tienen los mismos valores absolutos. En otras palabras, un polinomio, de más de una variable es homogéneo, si dichos términos poseen el mismo grado absoluto, llamado grado de homogeneidad. Ejemplo:

                                                                            2x3y2 + 3x2y3 + x4y1

En este ejemplo, los grados absolutos de los tres términos, tienen la misma cantidad de cinco. Y reciben el nombre, de, polinomio homogéneo de grado 5

Polinomios idénticos

Son aquellas expresiones que tienen los mismos términos algebraicos. Entonces se cumple:

Si, P(x) = ax3 + bx2 + c es idéntico a Q(x) = 3x2 + 2x3 – 5, entonces a=3, b=2 y c=-5

Polinomios opuestos

Los polinomios opuestos, son las expresiones que tienen los mismos coeficientes, pero de signos contrarios.  Ejemplos:

1) 2y2 – 5y3 + y4, su opuesto es, -2y2 + 5y3 – y4

2) -x3y2 + 3x2y3 + 5x4, su opuesto es, +x3y2 – 3x2y3 – 5x4

3) 2x3 + 3x2+ y – 2, su opuesto es, -2x3 – 3x2 – y + 2

Polinomios nulos

Polinomio nulo, es aquel que su valor numérico es cero. Cumple la condición: P(x) = ax2 + bx – c =, tal que a = b = c = 0

Ejemplos:

1) 0m2 – 0m + 0

2) 0y2 + 0y

3) 0x3 + 0x2 + 0x – 0